Integral von \( \cos^2 x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \cos^2 x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx \]

Verwenden Sie die Summenregel für Integrale \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \), um den Ausdruck umzuschreiben:

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(2x) \, dx \right) \]

Berechnen Sie dies unter Verwendung der Standardintegrale \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) und \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \):

\[ = \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Durch Ausmultiplizieren von \( \dfrac{1}{2} \) ergibt sich das Endergebnis zu: